МИРЭА. Типовой расчет-2 по Линейной Алгебре. Вариант-19

МИРЭА. Московский Государственный Институт Радиотехники, Электроники и Автоматики (технический университет).
Электронная книга (DjVu-файл) содержит решения 8 задач из типового расчета по по алгебре и геометрии, предназначенных для студентов I курса дневного отделения. Задачи взяты из сборника типовых заданий для студентов МИРЭА. Составители: И.В.Артамкин, С.В.Костин, Л.П.Ромаскевич, А.И.Сазонов, А.Л.Шелепин. Редактор Ю.И.Худак (Издательство МИРЭА-2010). Вариант-19.

Решения задач оформлены в виде сканированного рукописного текста, собранного в единый документ объемом 21 страница. Данный документ сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet Explorer или Mozilla Firefox после установки вспомогательной программы (плагина). Ссылка для скачивания и установки DjVu-плагина прилагается. DjVu-файл, содержащий условия задач и их подробное решение, полностью готов к просмотру на компьютере и распечатке. Решения всех задач были успешно зачтены преподавателями МИРЭА.

Темы заданий типового расчета:

Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений.

Задача 2. Найти общее решение в зависимости от значения параметра λ. При каких значениях λ система допускает решение с помощью обратной матрицы?

Задача 3. Линейный оператор A: V3 - V3 определяется действием отображения α на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу оператора A в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе.
2) Определить, в какую точку переходят точки с координатами (1,0,0) и (-1,2,1) под действием отображения α.

Задача 4. Пусть A - матрица оператора A из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора A.

Задача 5.
1) Доказать, что оператор А является линейным оператором в пространстве P_n многочленов степени не выше п.
2) Найти матрицу оператора А в каноническом базисе Р_п.
3) Существует ли обратный оператор А-1? Если да, найти его матрицу.
4) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора A.

Задача 6. Оператор А действует на матрицы, образующие линейное подпространство М в пространстве матриц второго порядка.
1) Доказать, что А — линейный оператор в М.
2) Найти матрицу оператора А в каком-нибудь базисе М.
3) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора А.

Задача 7. В пространстве V3 геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса заданы координатами в каноническом базисе.
1) Найти матрицу Грама GS скалярного произведения в этом базисе. Выписать формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.
2) Ортогонализовать базис S. Сделать проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:
a) выписав координаты векторов из Р в базисе;
b) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса S к базису P (но формуле GP=CT*GS*C) приводит к единичной матрице.

Задача 8. Дана квадратичная форма .
1) Привести к каноническому виду методом Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных.
2) Привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, выписать матрицу перехода.
3) Убедиться в справедливости закона инерции квадратичных форм на примере преобразований, полученных в пунктах 1 и 2.
4) Поверхность второго порядка σ задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Q(x)=α. Определить тип поверхности σ и написать ее каноническое уравнение.